Если вы считаете, что ваши твиты очень ценны для вас, то можете их сохранять локально для дальнейшей обработки. Например, по сохраненным локально сообщениям из вашего Twitter вы можете производить поиск — мне до сих пор непонятно, куда деваются старые твиты и как к ним получить доступ.
Если вы решите сохранять все твиты в Dropbox при помощи правила сервиса IFTTT, то не только сделаете полный бекап всех твитов, начиная с сегодняшнего дня, но и сможете производить по всем ним поиск. Все ваши сообщения сохранятся в простом текстовом файле, и вы сможете поискам Windows или Mac искать по его содержимому.
В настройке правила вы можете указать, в какой именно папке будут лежать данные, а также, что именно сохранять — только твиты или твиты с реплаями и ретвитами. Старые твиты в этот файл не попадут.