1. О вазах с яблоками и персиками
По вазам разложили 60 яблок и 60 персиков так, что во всех вазах оказалось поровну яблок, но в любых двух вазах — разное число персиков. Какое наибольшее число ваз могло быть использовано?
Во все вазы поровну разложены 60 яблок. Значит, возможное количество ваз должно выбираться из чисел, на которые 60 делится без остатка.
Известно также, что в каждой вазе должно быть разное число персиков. Попробуем разложить плоды в каждую вазу и понять, когда их станет больше 60. В первую вазу поместим 1 персик, во вторую — 2 персика, в третью — 3 персика и так далее: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66. Это превышает количество персиков, которое у нас имеется, поэтому разложить их в 11 ваз не получится.
Значит, нужно брать меньше слагаемых (и меньше ваз): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Это меньше, чем 60. Значит, мы можем добавить недостающее количество персиков ещё в какую-нибудь вазу: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 15 = 60. Всё сходится. Ответ — 10 ваз.
2. О порциях мороженого
Пока Чебурашка ест две порции мороженого, Винни Пух успевает съесть пять таких же порций, а пока Винни Пух ест три порции, Карлсон съедает семь. «Работая» вместе, Чебурашка и Карлсон съели 82 порции. Сколько порций за это время съел Винни Пух?
Обратим внимание на Винни Пуха: именно через него соотносится скорость поедания мороженного всеми героями. Найдём наименьшее общее кратное чисел 3 (через него Винни Пух соотносится с Карлсоном) и 5 (через него Винни Пух соотносится с Чебурашкой) — 15.
Это значит, что когда Винни съест 15 порций мороженого, Чебурашка съест 2 × 3 = 6 порций, а Карлсон 7 × 5 = 35 порций. Пока Винни ест 15 порций мороженого, Чебурашка и Карлсон вместе уничтожают 6 + 35 = 41 порцию. 82 порции мороженого они будут есть в два раза дольше, потому что 82 ÷ 41 = 2. Значит, и Винни Пух успеет съесть за это же время в 2 раза больше порций: 15 × 2 = 30.
3. Об австралийском зоопарке
В австралийском зоопарке 35% всех кенгуру серые, а 13% всех животных зоопарка — кенгуру, но не серые. Сколько процентов от всех животных в зоопарке составляют кенгуру?
Пусть n — общее количество животных в зоопарке, с — количество серых кенгуру, а k — количество всех кенгуру.
35% от общего количества кенгуру — серые. Запишем это: 0,35k = c.
13% от всех животных — это не серые кенгуру. Запишем и это: 0,13n = k − 0,35k.
Упростим полученное выражение: 0,13n = 0,65k; n = 5k; k = 1/5n = 20/100n = 20%. Значит, кенгуру составляют 20% от всех животных в зоопарке.
4. О гномах-лгунах
В комнате собралось несколько гномов, которые всегда лгут. Все они разного роста и разного веса. Каждый из них сказал: «Все остальные легче меня, и кто-то из них ниже меня». Какое из утверждений А — Г обязательно верно?
А. Самый тяжёлый гном — самый низкий
Б. Самый лёгкий гном — самый низкий
В. Самый тяжёлый гном — самый высокий
Г. Самый лёгкий гном — самый высокий
Д. Ни одно из утверждений А — Г не обязано выполняться.
Для самого тяжёлого гнома фраза «Все остальные легче меня» — истина, а её продолжение — «…и кто-то из них ниже меня» — должна быть ложью. Значит, все остальные гномы выше него. «Самый тяжёлый гном — самый низкий» — это верное утверждение. Для всех остальных гномов фраза «Все остальные легче меня» уже ложь, поэтому о них ничего сказать нельзя.
5. Об изобретении Безумного Шляпника
Безумный Шляпник сделал странные часы. Минутная стрелка у них неподвижна, а циферблат и часовая стрелка вращаются так, что часы всегда показывают правильное время. Сколько оборотов за сутки делает часовая стрелка таких часов?
Минутная стрелка неподвижна. Чтобы она показывала верное время, циферблат должен двигаться в противоположном направлении (против часовой стрелки) с той скоростью, с которой в обычных часах движется минутная стрелка, то есть совершать полный оборот за 1 час, а за сутки — 24 оборота.
Часовая стрелка должна тоже показывать верное время. Вместе с циферблатом она будет делать один оборот за час, то есть 24 оборота за сутки. Также она идёт в привычном для себя направлении — один полный оборот за 12 часов и два полных оборота за 24 часа в направлении по часовой стрелке. Поэтому в итоге она сделает 24 − 2 = 22 оборота за сутки.
В подборке использовались задачи из международного математического конкурса-игры «Кенгуру» за 2018 и 2019 годы.
Как вам задачи? Сколько решили без подсказок? Делитесь в комментариях!
