1. Задача про семейный ужин
Каждый Новый год семья Морозовых устраивает праздничный ужин. За столом собираются папа, мама, их сын Петя, дядя Коля, тётя Тома и дедушка.
Мама отвечает за организацию праздника. По традиции большой прямоугольный стол накрывают в гостиной с двухместным диваном, одним креслом и тремя стульями. Вот вид комнаты сверху:
Самое сложное в подготовке — придумать план рассадки, ведь у каждого члена семьи есть свои пожелания. Мама заранее выслушала их и составила список:
- Дедушка давно не видел тётю Тому, поэтому хочет сесть напротив неё.
- Петя хотел бы сесть рядом с дедушкой.
- Дядя Коля не хочет сидеть во главе стола.
- У тёти Томы болит спина, поэтому она хочет сесть на диван.
Папа всегда сидит во главе стола с левой стороны на кресле, а мама — по левую руку от него на диване.
Получится ли у мамы учесть пожелания всех членов семьи? И где тогда будет сидеть каждый из них?
Важно: считается, что родственники сидят рядом даже в том случае, если их разделяет угол стола.
Сразу известно, что папа сидит на кресле, а мама слева от него на диване. Тётя Тома тоже хочет сесть на диван, значит, она займёт на нём второе место.
Дедушка хочет сесть напротив тёти Томы, значит, он займёт стул в правом нижнем углу стола.
За столом остаётся два свободных места. Так как дядя Коля не хочет сидеть во главе стола, то ему останется место справа от папы. А Петя сядет напротив папы, рядом с дедушкой.
Тогда схема рассадки будет выглядеть так:
У мамы получится рассадить членов семьи так, как они и хотели.
2. Задача про кондитерскую Снеговика
Снеговик, работающий в лесной кондитерской, устал пересчитывать мелочь покупателей. Поэтому он решил больше не принимать монеты номиналом 1, 2 и 5 копеек.
Переделать ценники Снеговик не успел. Вместо этого он решил округлять сумму каждой покупки до десятка копеек. Например, если товар стоит 5 рублей и 23 копейки, он возьмёт за него 5 рублей и 20 копеек.
Медведь, Заяц, Белка и Ёж проходили мимо кондитерской Снеговика. Медведь решил угостить друзей свежей выпечкой. Долго уговаривать их не пришлось.
Из меню Медведь выбрал пирог с клюквой за 15 рублей 88 копеек, Заяц захотел мешок медовых пряников за 3 рубля 16 копеек, Белка — мешок орешков со сгущёнкой за 3 рубля 35 копеек, а Ёж предпочёл вафельный торт за 12 рублей 49 копеек.
Когда компания собиралась сделать заказ, Снеговик сообщил им, что не примет к оплате монеты меньше 10 копеек.
Медведь быстро сложил цены выпечки: вся покупка обойдётся в 34 рубля 88 копеек. Придётся округлить эту сумму до 34 рублей 90 копеек и переплатить две копейки.
Медведь решил, что можно разбить заказ и сберечь свои деньги. На сколько покупок нужно его разделить, чтобы сэкономить как можно больше?
На всякий случай напомним правила округления:
- Если при округлении крайняя цифра в числе меньше или равна 4, то следующая за ней цифра не меняется. Например, 6,72 округляется до 6,70.
- Если при округлении чисел крайняя цифра в числе больше или равна 5, то следующая за ней цифра увеличивается на единицу. Например, 3,48 округляется до 3,50.
Очевидно, что сэкономить получится только в том случае, если цена округляется в меньшую сторону. Наибольшая крайняя цифра в цене, при которой она округляется в меньшую сторону, — 4. То есть за одну покупку можно сэкономить максимум 4 копейки.
Заказ зверей можно разделить всего тремя способами: купить всё по отдельности, сделать две или три покупки.
Рассмотрим все сценарии:
1. Если Медведь купит всю выпечку по отдельности, то не сэкономит. Цены всех нужных товаров заканчиваются на цифру больше 4, то есть все четыре покупки придётся округлить в большую сторону. Этот вариант не подходит.
2. Если Медведь сделает три покупки, то ему нужно будет заплатить за два товара по отдельности, а за два — вместе. Мы знаем, что, покупая любой из товаров отдельно, придётся округлить цену в большую сторону и переплатить. Это значит, что сэкономить можно только при покупке пары. Выходит, при любой комбинации товаров, используя этот способ, Медведь сэкономит меньше 4 копеек.
3. Чтобы максимально сэкономить при двух покупках, нужно разбить товары на пары так, чтобы сумма их цен заканчивалась на 4. Тогда Медведь сэкономит максимум — 8 копеек. Это получится сделать, если купить пряники вместе с пирогом, а торт — с орешками:
- 3 рубля 16 копеек + 15 рублей 88 копеек = 19 рублей 4 копейки = 19 рублей;
- 12 рублей 49 копеек + 3 рубля 35 копеек = 15 рублей 84 копейки = 15 рублей 80 копеек.
Всего за две покупки надо будет заплатить: 19 рублей + 15 рублей 80 копеек = 34 рубля 80 копеек. Эта сумма меньше изначальной цены всей выпечки на 8 копеек.
Ответ: Медведю нужно разбить заказ на две покупки, тогда он сэкономит 8 копеек.
Головоломки из подборки составлены на основе задач из немецкого математического конкурса для школьников Mathe im Advent 2021.
