Сложная задачка про голубоглазых пленников, которые застряли на острове

Число островитян в данном случае не имеет значения. Чтобы упростить задачу, оставим только двух пленников — условных Андрея и Машу. Каждый из них видит узника с голубыми глазами, но знает, что этот голубоглазый может быть единственным.

В первую ночь они оба выжидают. Наутро они видят, что их товарищ по несчастью всё ещё здесь, и это даёт им подсказку. Андрей догадывается, что если его глаза не голубые, то Маша освободилась бы в первую ночь, поняв, что она единственный голубоглазый узник. Точно так же и Маша размышляет про Андрея. Они оба понимают следующее: «Если другой ждёт, мои глаза могут быть только голубыми». На следующее утро они оба покидают остров.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда узников трое: Андрей, Маша и Борис. Каждый из них видит двух пленников с голубыми глазами, но не уверен, сколько голубоглазых видят остальные — двух или только одного. В первую ночь узники выжидают, но утро ясности пока что не приносит.

Борис рассуждает так: «Если мои глаза не голубые, Андрей и Маша наблюдают только друг за другом. Значит, следующей ночью они вместе покинут остров». Но на третье утро Борис видит, что они никуда не делись, и делает вывод, что пленники наблюдают за ним. Андрей и Маша мыслят точно так же, поэтому на третью ночь они все покидают остров.

Это называется индуктивной логикой. Можно увеличивать количество пленных, а рассуждения останутся верными и не будут зависеть от количества островитян. То есть если узников было бы четверо, то они покинули бы остров на четвёртую ночь, пятеро — на пятую, сто — на сотую.

Ключ к этой загадке — концепция общего знания. Это знание, которым обладает каждый член группы, и каждый член группы знает, что все остальные члены группы знают, и все знают, что все знают, что все знают, и так до бесконечности.

Таким образом, становится понятно, что новую информацию островитянам дало не само заявление девушки, а то, что все они услышали его одновременно. Теперь все узники не только знают, что по крайней мере один из них имеет голубые глаза, но и то, что каждый следит за всеми голубоглазыми, и что они все знают это, и так далее.

Единственное, чего каждый отдельно взятый узник не знает, — это то, относится ли он к голубоглазым, за которым наблюдают остальные. Он узнает это только тогда, когда пройдёт столько ночей, сколько заключённых на острове. Конечно, девушка могла избавить узников от 98 ночей на острове, сказав, что минимум 99 из них имеют голубые глаза. Но с непредсказуемым диктатором шутки плохи, и лучше так не рисковать.

Загадка составлена на основе видео TedEd.