В 1995 году восьмиклассники из 16 стран мира сдавали тестирование TIMSS, которое проводилось для оценки качества школьного математического образования. Одна из задач показалась ученикам особо сложной: с ней справились только 10%. Проверьте, по зубам ли она вам.
На круглый стержень симметрично намотана струна. Она делает вокруг него ровно 4 оборота. Длина стержня — 12 сантиметров, а длина его окружности — 4 сантиметра. Чему равна длина струны?
Изображение: Анна Гуридова / Лайфхакер
Представим, что стержень — картонный. Если разрезать его вдоль по прямой линии, а потом развернуть и разровнять, получится прямоугольник размером 12 × 4 см. Намотанная струна превратится в 4 диагональные линии, каждая из которых является гипотенузой прямоугольного треугольника.
Изображение: Анна Гуридова / Лайфхакер
Длина одного из катетов этих прямоугольных треугольников равна длине окружности стержня, то есть 4 см. Длина другого катета — одной четвёртой длины стержня, то есть 12 ÷ 4 = 3 см.
Изображение: Анна Гуридова / Лайфхакер
Чтобы найти гипотенузу, нужно воспользоваться теоремой Пифагора. Она звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Вычислим квадрат гипотенузы: 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Значит, длина гипотенузы — √25 = 5 см. Следовательно, общая длина струны равна сумме 4 гипотенуз, то есть 20 см.
Как студенты-архитекторы улучшают благоустройство городов, не отрываясь от учёбы: 4 доступных формата
Проявить себя и начать карьеру: 6 причин участвовать в чемпионатах профессионального мастерства
Куда поехать осенью на машине: 7 небанальных маршрутов по России
«Задача в работе»: топ-5 популярных таск-трекеров и в чём их особенности
Комментарии
Aleksei
11.09.20 17:15
Вы уверены, что ваш ответ верный?
Борис Попов
11.09.20 17:29
Он верный в чисто геометрических терминах. :) Как абстрактная модель.
Aleksei
12.09.20 00:25
Возможно, но как я понимаю условие, то длина струны, это 4 витка вокруг цилиндра(стержня), то есть периметр 3,5 или 4 элипсов (в зависимости от того, что считать концом струны), с диаметром 5 (3:4:5 египетский треугольник) и ответ округляя - 49,77 или 56,88..
Да, это будет длина видимой струны на рисунке (и тогда ответ верный), но в условии говорится, что она намотана на стержень и мне не ясно, почему не учитывается её полная длина в витках
Алексей Аминов
07.10.20 00:42
примерно прав .добавь лекарство своим любимым толи вылечит то-ли убьёт.что отличает лекарство от яда?надо весить в миллиграммах.)))
Konstantin
22.10.20 18:07
В условии сказано, что ровно 4 витка. И неважно где конец, а где начало.
псаки не уходи
06.12.20 16:14
поздравляю, вы вошли в 90%))))
Александр Лопатко
23.10.20 22:03
Если положить этот цилиндр на плоскость и прокатить на 4 оборота, получим отпечаток прямоугольника со сторонами : 12 см (длина цилиндра) и 16 см ( 4 длины окружности цилиндра). Длина диагонали на этом отпечатке и будет длиной струны. Далее чисто школьная математика: поиск длины гипотенузы прямоугольного треугольника при известных длинах катетов. Ответ: 20 см. И никаких эллипсов и десятичных дробей.
Сергей Сергеев
11.09.20 20:14
А ничего, что вы длину окружности с диаметром путаете?
Олег Залялов
14.09.20 22:48
Это-то они не путают, у них в условии длина окружности. Вот то, что спираль при разворачивании превратится в прямую как-то не так очевидно.
Denis Yurashkou
14.09.20 17:03
20 см.
Можно представить струну как край листа, намотанного на стержень.
"Размотав" лист, получим пифагоров треугольник с длиной 12 см. и высотой 16 см.
Дальше нужно? ;)
ulf taker
23.09.20 09:40
Нужно. Откуда вы взяли размеры длины и высоты этого треугольника?
Denis Yurashkou
23.09.20 17:34
Длина это длина цилиндра.
Высота это 4 окружности, на которые намотана струна.;)
псаки не уходи
06.12.20 16:18
Длина понятна, а вот высота нет. высота будет 4см
ulf taker
23.09.20 09:43|изменено
А почему не посчитали сумму катетов, обозначенных пунктиром? Они тоже составляют длину струны. Тогда правильнее было бы к сумме 4 гипотенуз прибавить сумму 3 катетов:4*5 + 3*4 = 32 см.
Станислав Кузнецов
02.10.20 03:20
Пунктиры показывают, что концы отрезков БЫЛИ соединены, проволоки там нет.
Andrey Tsarkov
26.09.20 00:08
Разрежьте этот цилиндр в доль, положите на стол у вас получится четыре прямоугольника, струна будет дагональю каждого из этих прямоугольников, стороны прямоугольников 3Х4, диагональ одного равна 5, умножаем по количеству 5Х4 будет 20см
Konstantin
22.10.20 17:57
4 окружности стержня = 2*3,14*2*4 =50,24 Дальше читайте мое решение тут же в переписке.
Константин Д
27.05.22 18:39
Извините! Мое решение верно для диаметра 4 см.
Андрей Лысый
09.12.20 22:18
получится две половинки по 20
Павел Комаров
05.10.20 14:44|изменено
В условии длинна окружности вы считаете её диаметром, длина окружности стержня P=2пR. И от этого задача уже имеет совершенно другое решение и ответ 20/п= 6,37 см.
Алексей Аминов
07.10.20 00:37
А пи куда дел?тобишь3.14
Павел Комаров
20.02.21 11:33
Я вам показал ошибку в постановке вопроса задачи, но и сам ошибся в вычислении. А то, что автор считает длину окружности ее диаметром это и ломает всю логику этой задачи.
r = 4/(2*3,14), d = 2r;
А дальше уже используется логика автора.
Длина 1 катета 3 см второго d и по теореме пифагора вычисляется длинна гипотенузы и умножается на 4 поскольку 4 полных витка.c - длинна гипотенузы,c = sqrt(3^2+d^2)
P - длинна струны
P = 4*c = 4*sqrt(3^2+(4/3,14)^2)=13,04
Даже если логически подумать при диаметре в 1,27 см намотать 20 см струны выйдет гораздо больше витков, либо длина стержня должна быть приблизительно около 18-19 см.
Алексей Аминов
07.10.20 00:25
А задачка и впрямь класс! Советую мозги напрягать.
Владимир Вирченко
07.10.20 11:43
Намотку струны на стержень диаметром 4см представим в виде четырех эллипсов с очевидными полуосями 2,5см и 2см. Длина (периметр) каждого эллипса по известной формуле составит 14,224см, ну а общая длина струны в 4 раза больше - 56,9см.
Konstantin
15.10.20 21:07
Полуось не 2,5 см, а 2,136. Намотка должна быть равномерная. Типа угол падения равен углу отражения. Между витками 3 см (длина волны)Значит получаем прямоугольный треугольник с катетами 1,5 и 4 см.
Олег Кучеренко
08.10.20 15:32|изменено
Четыре эллипса малая ось равна диаметру стержня 4/ПИ, а большая ось Корень(16/ПИ+1,5*1,5)
Виктор Носов
08.10.20 20:11
Если плясать от эллипсов, то его можно представить сечением плоскостью цилиндра высотой 1.5см. Развертка фигуры превращается в элементарный равнобедренный треугольник с основанием 4см и высотой 1.5см. Гипотенуза 2.5см. Длина одного витка струны равна 5см, а вся струна 20см.
Павел Кравцов
11.10.20 07:24|изменено
Т..е. мы имеем на развороте поверхности стержня прямоугольник 12 на 4 см... Сумма 4-х диагоналей 4-х прямоугольников 4 на 3 см.... и будет правильным ответом. Т.е. 20 см.
Александр Сапогов
12.10.20 18:57
Банальщина. Длину окружности мы знаем, длину стержня тоже. Раскладываем поверхность в прямоугольник 4Х12. Первый же виток образует прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Соответственно длина гипотенузы, коей в данном случае является виток струны, составляет 5 см. Вспоминаем о 4 равномерных витках и получаем длину струны 20см. И не надо раскладывать на эллипсы и заниматься прочими ненужными построениями.
Александр Серебряный
14.10.20 09:28
В задаче не хватает исходных данных это толщина струны и в идеале модулей сжатия и растяжения так как при очень большой разнице между ними при изгибе длина меняется! так что ответ не может быть 20 см как бы очевидным это не казалось)))
Cepгeй
24.10.20 13:24
Единственный разумный комментарий!Единственный человек, кто вышел в 3-е измерение и учёл ТОЛЩИНУ струны!!!
псаки не уходи
06.12.20 16:17
Он демагог не сумевший решить задачу
Борис Попов
06.11.20 13:01
Это геометрическая задача, а не физическая. Детская задача на логику. А что, если диаметр струны превышает диаметр цилиндра? :)
Анатолий Васильев
14.10.20 10:47
Зачем опять опять всё усложнять, когда даже визуально получается прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Одно действие и гипотенуза равна 20!!!
Ants Viires
14.10.20 18:20
полуоси эллипса а=0,5*√13; b=1,5; L струны = 4L периметр эллипса≈ 4*4*(π*a*b+(a-b)**2)/(a+b)≈ 41,64. Это какой-такой школьник считает в уме эллиптические интегралы?
Konstantin
22.10.20 18:00|изменено
У Вас ошибка: Полуоси равны 4/2 и 4,272/2. Простите, я школу закончил 40 лет назад. Все решается просто, без интегралов. Неужели сейчас так хреново алгебре обучают?
Александр Хвостов
14.10.20 19:31
Если сделать развёртку цилиндра, получится прямоугольник со сторонами 4 и 12. Тогда кусок струны - гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 4 и 3 см. Таких кусков 4, следовательно длина струны равна 20.
Konstantin
22.10.20 17:59
Вы наматываете на плоскую линейку, а нужно на круглый стержень!
Валера Никоноров
25.10.20 19:31
это не линейка, а разрезанный цилиндр, поверхность которого -- плоскость => на ней работают законы планиметрии, если вы не уверены в ответе, то можете попробовать с конструировать модель
Валера Никоноров
25.10.20 19:32
ответ будет незначительно отличаться от 20 из-за того, что мы считаем струну идеально тонкой и не растяжимой
Иса Сулейманов
06.12.20 10:41
окружность и диаметр не равны....
Елена Варакина
15.10.20 15:00
Я через тангенс решил
Konstantin
15.10.20 20:53|изменено
Решение неверно. Возьмем для примера, что струну намотали на стержень по диаметру. Итого P=2ПиR. Значит в этом случае длина струны = 2*2*3,14*4=50,24см, что уже больше, чем 20 см. А мы еще растягиваем струну увеличивая ее длину. Чтобы узнать периметр этих 4-х эллипсов нам нужно узнать длину осей эллипса. Одна ось дана -это диаметр стрежня. Вторую рассчитываем с помощью теоремы Пифагора. B=Корень из (1,5*1,5+4*4)=4,272 см.Лень было искать формулы периметра окружности и просто вставил в он-лайн калькулятор. Исходя из полуосей в 4/2 и 4,272/2 см получаем периметр одного эллипса 13,000 см. А длина струны, соответственно, 13*4= 52 см. Рисунок тоже неверен. Так нельзя намотать. Она должна быть намотана равномерно с равномерными углами.
Валера Никоноров
25.10.20 19:36
как у вас 2*пиR=2*2*3.14*4?
если нам дано, что длина окружности 4,а это и есть 2пиR?
Рушан Юсупов
20.10.20 20:19
4 круга по 4 см будет 16 см, плюс 12 см чтобы пройти весь стержень. Итог 28см.
Konstantin
22.10.20 18:11|изменено
А кто сказал, что окружность равна 4 см при диаметре в 4 см? А 12 см тут причем? ;))))
Борис Попов
22.10.20 18:31
"длина его окружности — 4 сантиметра" - это условие задачи. :)
Andrey Tsarkov
23.10.20 00:09
Условие задачи сказало
Валерий Евстафьев
20.10.20 22:51
1. Делаем развертку цилиндра со струной. 2. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 12 и 4х4=16 см. 3. Струна - гипотенуза этого египетского треугольника - 20 см.
Михаил Авласович
22.10.20 14:40
Решение неверно! Длина струны 28 см. Объяснять не буду....сами разберетесь.)))
Konstantin
22.10.20 18:14
Да. ТОчно. Неверно. Но ответ равен 52 см!!!
псаки не уходи
06.12.20 16:19
Поздравляю, вы в 90%)))
Konstantin
22.10.20 17:51|изменено
Просто намотайте на стержень. Никак вы не получите 20 см!!!! У вас не плоская фигура, а оъёмная!!!!!
Козьма Прутков
23.10.20 07:37
Развертка - прямоугольник размером 12 см на 16 см (четыре оборота стержня), а диагональ этого прямоугольника - проекция струны. Длина гипотенузы одного из двух прямоугольных треугольников и будет 20 см.
Александр Go
25.10.20 23:36
смотря как намотать
Вадим Шайхисламов
26.10.20 16:31
Ладно, я смог решить задачку для восьмиклассника... Ура... Вадим, 31 годик.
Hrun Morjo
26.10.20 23:31|изменено
"Намотанная струна превратится в 4 диагональные линии, каждая из которых является гипотенузой прямоугольного треугольника." Так то оно так и есть, только откуда это следует? Почему прямая, а не дуга? Какая теорема это доказывает? Решение основано на неком допущении, т.е. не решена первая часть задачи с развёрткой цилиндра. Решение верное, но не полное. Оно требует дополнительной научной экспертизы.
Евгений Данилов
27.10.20 04:00
многие наверно споткнулись на том чтобы представить развёртку витка прямой линией...
Кирилл Корнев
02.11.20 17:47
Автор даже при том что витки намотаны по окружности а на по спирали длина одного витка 3.14х4=12.28 а витков 4 итого около 50 см
Георгий Малов
03.11.20 08:49
23.61 цилиндр, развернуть на плоскость.
silibutik
07.11.20 14:03
у меня получилось 20, но решение намного проще)
Сергей Мартынов
08.11.20 16:57
Какая -то дурацкая задача. И ни кто ее не решит.
Радомир Темны
15.11.20 20:35
Условия задачи не корректны. Витки начинаются под углом а с не видимой стороны строго перпендикулярно. А если и с зади наклонно? Об этом не слова. Не указан шаг намотки и то что намотка на всю длину трубы.
Денис Максимов
17.11.20 13:42
Гипотенуза равна 5, 4 витка это 20см, 20см*2 = 40см (умножили на 2, так как виток с обеих сторон конуса)
Владимир С
18.11.20 12:49
10% ? не может быть! 3*3+4*4=25, корень из 25=5 . 5(длина витка)*4витка =20
Андрей Лысый
09.12.20 22:22
только половины витка
Юрий Трофимов
05.12.20 20:17
КОЛИЧЕСТВО ВИТКОВ УМНОЖИТЬ НА ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ ПЛЮС ДЛИНА СТЕРЖНЯ. ОТВЕТ БУДЕТ-4Х4+12=28
Иса Сулейманов
06.12.20 10:55
окружность равна 4 см. найдем диаметр. c=п*d, d=1,27, 12/4=3 см(между витками), расстояние полувитка до края равно 1,5 см. т.е. у нас есть два катета 1,27 и 1,5, найдем гипотенузу, она равна 1,96 см. она является диаметром одного оборота, т.е обмотки. Имея диаметр можно найти окружность обмотки, она равна п*1,96=6,15, т.к. у нас по условии 4 оборота, то длина струны равна 24,6 см. как-то так...
псаки не уходи
06.12.20 15:22
Да вы серьёзно???? Известны два катета, узнаём гипотенузу, читай длину диаметра, длина окружности 2пр, читай длину струны одного оборота, умножай на 4. Закончил школу в 89-м, по алгебре и геометрии тройки
псаки не уходи
06.12.20 15:53
Сорри , невнимательно прочитал условие задачи. Из длины окружности узнаём диаметр, читай диаметр цилиндра, известен второй катет, узнаём гипотенузу, читай диаметр струны, из диаметра узнаём длину окружности, читай длину струны одного оборота, умножаем на 4. Повторюсь, закончил школу в 89-м, по алгебре и геометрии тройки.
псаки не уходи
06.12.20 16:10
О, сейчас ещё одно решение пришло, раз известна окружность, можно всё превратить в прямоугольник со сторонами 4 и 12 см, 12 делим на 4 , получается два катета со сторонами 3 и 4. Классика, длина гипотенузы 5, длина одного витка 5.
Андрей Лысый
09.12.20 22:17
не одного витка,а половины
Ирина Александрова
07.12.20 16:23
Вот и неправильно!
Андрей Лысый
09.12.20 22:12
40
Андрей Лысый
09.12.20 22:30
вообще то в условии сказано симметрично а не равномерно ,а посему условие не корректно
Павел Смирнов
10.12.20 11:36
Решил за 20 секунд. Привет от советского троечника!
Сергей Козыкин
10.12.20 15:03
Pi*D*tg(arcctg(((2*L)/(n*D))^2)
Сергей Козыкин
10.12.20 15:21
Если мы считаем длину струны обернутую вокруг цилиндра, то в ответе обязательно должно быть число Пи, Периметр окружности равен 2*Pi*R унас есть диаметр, значит Pi*D косинусы и синусы меньше единицы, больше единицы у нас могут быть tg для тангенса нужен угол. Тут важно не запутаться какой угол тангенсу поставить. угол нужно получить из соотношения сторон между длиной цилиндра количеством витков и диаметром цилиндра. если. Обратите внимание, что задача похожа на тригонометрию и попадание частицы в магнитное поле. Это типовая задача учился 25 лет назад и в голове уже углы эти напутаны, поэтому мне тяжко.
Лучшие предложения
10 мужских кроссовок от популярных брендов со скидками до 59%
Это нам надо: популярная сыворотка с ретинолом и микроиглами со скидкой 20%
Надо брать: ударная дрель от Heimerdinger со скидкой 70%
18 надёжных смесителей, которые часто покупают на маркетплейсах
10 вещей популярных брендов со скидками до 65%
Надо брать: робот-пылесос Roborock S8 со скидкой 69%
15 отличных товаров, которые отдают со скидками до 70% на AliExpress
8 качественных пижам, которые отдают со скидками до 76%
Как студенты-архитекторы улучшают благоустройство городов, не отрываясь от учёбы: 4 доступных формата
Проявить себя и начать карьеру: 6 причин участвовать в чемпионатах профессионального мастерства
Куда поехать осенью на машине: 7 небанальных маршрутов по России
«Задача в работе»: топ-5 популярных таск-трекеров и в чём их особенности