Как правильно: махаю или машу

Оба варианта слова верны. Впрочем, некоторые словари считают, что образованные от глагола махать формы первого лица настоящего времени различаются стилистической окраской: махаю — разговорная, машу — литературная.

Чередование звуков [х] и [ш] возникло вследствие сложных исторических изменений русского языка. Так появились личные формы с ш в основе: махать — машу. При этом существовали более простые модели образования без мены согласных: копать — копаю, катать — катаю, поднимать — поднимаю. Это начало влиять на формы с чередованием, поэтому по аналогии возникли параллельные варианты: махать — махаю.

В современном русском языке чередование проявляется не только в первом лице, но и в других формах: машешь или махаешь, машут или махают, маша или махая. И здесь снова можно выбирать из двух равноправных вариантов.

Подобные параллельные формы встречаются у ряда глаголов, которые называются изобилующими или избыточными. Среди них, к примеру, следующие пары: колышет — колыхает, кудахчет — кудахтает, мурлычет — мурлыкает, плещет — плескает, полощет — полоскает, брызгает — брызжет, капает — каплет, двигает — движет. Причём в отдельных случаях разница между формами может быть не только стилистической, но и смысловой. Однако машу и махаю к таковым не относятся.