Задача про тайник Леонардо да Винчи, в который не так-то легко пробраться

Если наугад подбирать комбинации цифр, на разгадку уйдёт много времени. Лучше проанализировать имеющиеся у нас числа и выявить закономерность.

Суммируя цифры первого числа — 1210, получаем 4 (количество цифр в данной комбинации). Суммируя цифры второго числа — 3211000, получаем 7 (результат также равен количеству цифр в данной комбинации). Каждая цифра указывает на то, сколько раз она встречается в данном числе. Поэтому сумма цифр в 10‑разрядном автобиографическом числе должна быть равна 10.

Отсюда следует, что в третьей комбинации не может быть много больших цифр. Например, если бы там присутствовали 6 и 7, это означало бы, что какая‑то цифра должна повториться шесть раз, а какая‑то семь, в результате чего разрядов было бы больше 10.

Таким образом, во всей последовательности не может быть более одной цифры больше 5. То есть из четырёх цифр — 6, 7, 8 и 9 — только одна может войти в состав искомой комбинации. Или вовсе ни одной. А на месте незадействованных цифр будут стоять нули. Получается, что в искомом числе содержится минимум три нуля и что на первом месте стоит цифра, которая больше или равна 3.

Первая цифра в искомой последовательности определяет количество нулей, а каждая дальнейшая — количество ненулевых цифр. Если сложить все цифры, кроме первой, получится число, определяющее количество ненулевых цифр в искомой комбинации, с учётом самой первой цифры в последовательности.

Например, если мы сложим цифры в первой комбинации, то получим 2 + 1 = 3. Теперь отнимем 1 и получим число, определяющее количество ненулевых цифр, стоящих после первой, лидирующей цифры. В нашем случае это 2.

Эти вычисления дают важную информацию о том, что количество ненулевых цифр, стоящих после первой цифры, равно сумме этих цифр минус 1. Как вычислить значения цифр, сумма которых на 1 больше, чем количество суммируемых ненулевых положительных целых чисел?

Единственно возможный вариант — это когда одним из слагаемых является двойка, а другие — единицы. Сколько единиц? Оказывается, их может быть только две — в противном случае в последовательности присутствовали бы цифры 3 и 4.

Теперь мы знаем, что первой цифрой должна стоять цифра 3 или выше — она определяет количество нулей; далее цифра 2 для определения количества единиц и две 1, одна из которых указывает на количество двоек, другая — на первую цифру.

Теперь определим значение первой цифры в искомой последовательности. Поскольку мы знаем, что сумма 2 и двух 1 равна 4, вычтем это значение из 10 и получим 6. Теперь остаётся лишь расположить все цифры в правильной последовательности: шесть 0, две 1, одна 2, ноль 3, ноль 4, ноль 5, одна 6, ноль 7, ноль 8 и ноль 9. Искомое число — 6210001000.

Тайник открывается, и турист обнаруживает внутри давно утерянную автобиографию Леонардо да Винчи. Ура!

Загадка составлена на основе видео TED‑Ed.